A utilização de Criptografia com Curvas Elípticas foi proposta em 1985, pelos matemáticos Neal Koblitz e Victor Miller, como uma nova forma para sistemas criptográficos de chave pública. Eles se basearam nos algorítmos de chaves públicas já existentes, como o algoritmo de Diffie e Hellman, fazendo uso das curvas elípticas. Portanto, os sistemas criptográficos que fazem de curvas elípticas se baseiam em modificações de outros sistemas, com o diferencial de proverem sistemas criptográficos assimétricos mais seguros e com chaves menores, resolvendo um grande problema dos algoritmos de chave pública, que se refere ao grande tamanho de suas chaves. Koblitz e Miller desenvolveram uma forma de utilizar o grupo de pontos de uma curva elíptica sobre um corpo finito para implementar griptografia de chave pública.

As equações cúbicas para curvas elípticas têm a seguinte forma :

y² + a1xy + a3y = x³ + a2x² + a4x + a5,

As variáveis x e y situam-se no plano. Na verdade, x e y podem ser complexos, reais, inteiros, base polinomial, base canônica ou qualquer outro tipo de elemento de corpo

A base para a segurança dos sistemas criptográficos baseados em curvas elípticas, chamados de ECC (Elliptic Curve Cryptosystem), é a suposta intratabilidade do problema do logaritmo discreto no grupo de pontos de uma curva elíptica, que pode ser resumido da seguinte forma: data uma curva elíptica E definida sobre um corpo finito, um ponto P da curva de ordem n, e um ponto Q, determine o inteiro  k, 0 £ k £ n-1, tal que Q = kP.  Matemáticos no mundo inteiro se dedicam ao estudo dos logaritmos discretos de curvas elípticas, e nenhuma fraqueza foi descoberta.

Atualmente, três tipos de sistemas de criptografia com chave pública são considerados seguros e eficientes, classificados de acordo com o problema matemático em que eles se baseiam :

1. Sistemas de fatoração de inteiros (Integer Factorization Systems - IFS), baseados no problema de fatoração de inteiros (Integer Factorization Problem - IFP)
2. Sistemas de logaritmo discreto (Discrete Logarithm System - DLS), baseados no problema do logaritmo discreto (Discrete Logarithm Problem - DLP)
3. Sistemas de curva elíptica (Elliptic Curve Discrete Logarithm System - ECDLS), baseados no problema do logaritmo discreto em curvas elípticas (Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem - ECDLP).

Referências :

Gabriel Belingueres. Introducción A Los Criptosistemas de Curva Elíptica. Em http://www.publispain.com/supertutoriales/matematica/criptografia/cursos/2/curva.pdf

JURISIC, A.; MENEZES, A. J. Elliptic Curves and Cryptography. (Ontario: Certicom White Paper em http://www.certicom.ca/ecc/weccrypt.htm, 1997

http://www.smartsec.com.br/curvaselipticas.html

http://www.ccet.unimontes.br/arquivos/monografias/261.pdf